LOGIKA MATEMATIKA

 PETA KONSEP

Squad, apa yang kamu bayangkan ketika mendengar kata “logika matematika”? Kalau kamu murid laki-laki, mungkin akan bingung dan bertanya, “Kok matematika pakai logika segala?”. Sementara sebagian perempuan akan berpikir, “Logika itu mah urusan laki-laki! Perempuan tuh pakenya perasaan…”Hmmm.

Berpikir komputasional (Computational Thinking) merupakan suatu metode untuk menuntaskan persoalan menggunakan penerapan teknik ilmu komputer/informatika. Berpikir komputasional dilakukan dengan batasan proses komputasi yang dieksekusi oleh manusia ataupun mesin. Metode dan model komputasional memberikan kemudahan bagi kita untuk memecahkan masalah dan mendesain sistem yang tidak bisa kita kerjakan sendiri. Berpikir komputasional mencakup pemecahan masalah, mendesain sistem, dan memahami perilaku manusia dengan merancang konsep berbasis teknologi komputer.

Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid.

Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai proposisi/pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan.

• Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.
• Logika matematika adalah Ilmu yang mempelajari tentang cara berpikir yang logis/masuk akal
• Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang berlaku.

PROPOSISI/PERNYATAAN

• Pengertian 

Proposisi merupakan sebuah pernyataan yang menggambarkan keadaan benar atau salah dalam bentuk sebuah kalimat. Istilah proposisi biasanya digunakan dalam analisis logika dimana keadaan dan peristiwa secara umum melibatkan seseorang atau orang yang dirujuk dalam kalimat. Kebenaran sebuah proposisi berkorespondensi dengan fakta, sebuah proposisi yang salah tidak berkorespondensi dengan fakta. Ada empat unsur proposisi, yaitu dua unsur merupakan materi pokok proposisi, sedangkan dua unsur lain sebagai hal yang menyertainya. Empat unsur yang dimaksudkan yaitu subjek, predikat, kopula dan kuantor.

• Kalimat – Kalimat Proposisi 

Kebenaran suatu kalimat harus sesuai fakta. Ada empat elemen, yaitu dua elemen subjek kalimat, dan dua elemen lainnya berfungsi sebagai objek yang menyertainya. Keempat elemen tersebut, yaitu konsep sebagai subjek, konsep sebagai predikat, kopula dan kuantifier. Kalimat proposisi merupakan sebuah pernyataan yang melikiskan beberapa keadaan dan biasanya tidak selalu benar atau salah dalam bentuk kalimat.

• Proposisi Majemuk 

Proposisi majemuk menjelaskan "kemajemukan proposisi (anteseden dan konsekuen) yang dipadukan". Anteseden sering disebut dengan premis dan konsekuen disebut dengan kesimpulan. Proposisi majemuk terdiri atas satu subjek dan dua predikat atau bisa juga terdiri atas dua proposisi tunggal.

Perhatikan contoh kalimat proposisi majemuk berikut  :

Bayam merupakan tanaman sayuran sekaligus obat alami penurun darah tinggi. 

Subyek: Bayam; predikat : sayuran dan obat alami penurun darah tinggi

 

Antiseden : “Kuda adalah kendaraan para ksatria dizaman kerajaan dan Kuda merupakan simbol kejayaan”.

Menjadi Konsekuen : “Kuda adalah kendaraan para ksatria dizaman kerajaan dan symbol kejayaan”

NEGASI/INGKARAN, KONJUNGSI, DISJUNGSI DAN IMPLIKASI

Negasi/Ingkaran 

Negasi/ingkaran suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai benar (B), jika pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya. Apabila sebuah kalimat pernyataan bernilai benar, maka setelah dinegasikan, kalimat itu akan bernilai salah. Sebaliknya, apabila sebuah kalimat pernyataan bernilai salah, maka setalah dinegasikan, kalimat tersebut akan bernilai benar. 

Misalnya “tidak semua orang kaya dapat merasakan kenikmatan hidup”. Kita paham bahwa kalimat itu bernilai benar. Apabila kalimat tersebut diubah menjadi “semua orang kaya dapat merasakan kenikmatan hidup”, maka nilai dari kebenaranya adalah salah karena kenikmatan hidup tidak berasal dari kekayaan semata.

 
Contoh kalimat negasi (ingkaran):

• Ikan hanya bisa hidup di air (benar) 
• Negasinya : Ikan bisa hidup di darat (salah)

• Monyet pandai memanjat pohon (benar) 
• Negasinya : Monyet pandai menanam pohon (salah) 

Konjungsi

Kata hubung konjungsi adalah “dan” dengan simbol “^”. Sehingga semua pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata penghubung “dan” disebut konjungsi.

Misalkan tersedia data sebagai berikut :

 p : Tahun 2004 adalah tahun kabisat (habis dibagi 4). 

 q : Bulan Februari di tahun 2020 memiliki 29 hari.

Apabila pernyataan diatas di-negasi-kan, maka akan terbentuk kalimat sebagai berikut : 

~p: Tahun 2024 bukan tahun kabisat.

~q: Bulan Februari di tahun 2020 memiliki 28 hari. 

Dari pernyataan diatas, dapat disusun kalimat konjungsi sebagai berikut : 

1. Tahun 2020 adalah tahun kabisat dan memiliki 29 hari di bulan februari. Bernilai benar 

2. Tahun 2020 bukan tahun kabisat dan memiliki 29 hari di bulan februari. Bernilai salah 

3. Tahun 2020 bukan tahun kabisat dan memiliki 28 hari di bulan februari. Bernilai salah 

Perhatikan pernyataan berikut:

p : Kambing berkaki empat (benar) 

q : Kambing memiliki sayap (salah) 

Tentukan kalimat konjungsi dan nilai kebenaranya! 

p ^ q : Kambing berkaki empat dan memiliki sayap (salah) 

Disjungsi

Dua kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan kata hubung “atau” dan ditulis “∨” disebut disjungsi. Untuk menentukan tabel kebenaran dari disjungsi, lakukan cara yang sama seperti membuat tabel kebenaran konjungsi.

Misalkan tersedia data sebagai berikut : 
 p : Tahun 2000 adalah tahun kabisat (habis dibagi 4). 

 q : Bulan Februari di tahun 2020 memiliki 29 hari.

Apabila pernyataan diatas di-negasi-kan, maka akan terbentuk kalimat sebagai berikut: 

~p: Tahun 2020 bukan tahun kabisat.

~q: Bulan Februari di tahun 2020 memiliki 28 hari.  

Dari pernyataan diatas, dapat dibentuk kalimat konjungsi sebagai berikut :

1. Tahun 2020 adalah tahun kabisat dan memiliki 29 hari di bulan februari. Bernilai benar 

2. Tahun 2020 bukan tahun kabisat dan memiliki 29 hari di bulan februari. Bernilai salah 

3. Tahun 2020 bukan tahun kabisat dan memiliki 28 hari di bulan februari. Bernilai salah

Perhatikan pernyataan berikut:
A : 5 * 5 = 25 (benar) 

B : 25 adalah bilangan ganjil (benar) 

Tentukan nilai disjungsi dan nilai kebenaranya 

 A v B : 5 * 5 = 25 atau 25 adalah bilangan ganjil (benar)

Implikasi

Pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata hubung “jika … maka …” disebut implikasi dengan simbol →. Untuk menentukan nilai tabel kebenarannya, perhatikan gambar berikut. Misal jika ismah lulus ujian, maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.

Misalnya: 

A : Ismah lulus ujian. 

B : Ismah memberikan uang kepada adiknya. 

Sekarang kita tentukan negasi dari p dan q sebagai berikut. 

 ~A : Ismah tidak lulus ujian. 

 ~B : Ismah tidak memberikan uang kepada adiknya.

Dari pernyataan di atas, dapat dibuat hubungan implikasi sebagai berikut. 

1. Jika Ismah lulus ujian, maka ia akan memberikan uang kepada adiknya. (kalimat ini bernilai benar karena Ismah menepati janji) 
2.  Jika Ismah lulus ujian, maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya. (kalimat ini salah karena Ismah tidak menepati janji
3. Jika Ismah tidak lulus ujian, maka ia memberikan uang kepada adiknya. (kalimat ini bernilai benar karena meskipun janjinya gugur dia tetap memberikan uang kepada adiknya) 
4. Jika Ismah tidak lulus ujian, maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya. (kalimat ini bernilai benar karena Ismah bebas dari janjinya)

Contoh implikasi : 

1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut! 

    p : Semua orang akan mengalami masa tua 

    q : Semua orang akan meninggal dunia 

    Jawab 

    p → q : Jika semua orang mengalami masa tua, maka kelak akan meninggal dunia (benar) 

2. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut! 

    p : 15 / 2 = 7 (benar) 

    q : 7 adalah bilangan ganjil (benar) 

    Jawab 

    p →q : Jika 15 / 2 = 7, maka 7 adalah bilangan ganjil (benar) 

Jadi, ke depannya kita tidak asal menduga sesuatu yaa. Tidak ada lagi deh kalimat ‘Kamu bilangnya mau jemput jam 10.

Kok telat? Pasti JALAN SAMA MANTAN YA?